としの高校数学攻略

数学が全くできない高校生でも、数学偏差値60を超えるための勉強法を塾講師7年目の経験を踏まえて伝授します

微分苦手な人必見!極値を持つ条件を考えられるようになろう!

グラフの書き方を

利用することで

極値を持つ条件を

自力で考えられる!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

あなたは次の事で悩んでませんか?

CHECK!

①三次関数のグラフまでで微分は諦めてる

②そもそも三次関数のグラフも怪しい

 

僕も微分の範囲は

受験生になるまで

全く理解していませんでした。

 

できても、微分の計算だけ。

 

そこから受験勉強で

しっかりと意味を考えることで

微分が得意科目になりました。

 

微分が苦手な人でも

この記事を読み進めていき

できることを増やしていきましょう!

 

 

 

三次関数のグラフ

ここで簡単にグラフの書き方

おさらいしていきましょう。

 

例題その1

例題

次の関数のグラフをかけ。

\displaystyle{y=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-2x+1}

 

 

まず微分して整理すると

y^{\prime}=(x+1)(x-2)

となります。

 

y^{\prime}=0のとき、x=-1,2となるので

増減表を以下のように書いてましたね。

f:id:tosh1z0:20220323215055p:plain



 

よってグラフは次のように書けます。

f:id:tosh1z0:20220323215113p:plain



 

例題その2

例題

次の関数のグラフをかけ。

\displaystyle{y=\frac{1}{3}x^3-x^2+x+2}

 

 

 

先ほどと同じく

微分して整理すると

y=(x-1)^2

となります。

 

y^{\prime}=0のとき、x=1となるので

増減表を以下のように書きます。

f:id:tosh1z0:20220323215322p:plain



 

よってグラフは次のように書きます。

f:id:tosh1z0:20220323215408p:plain



 

2つの例題より

以上の2つの増減表を見比べると

y^{\prime}=0の解が

重解か2つの解があるか

で違いがありますね。

 

よって関数がしっかりと

極値を持つためには

y^{\prime}=0が異なる2つの実数解をもつ

ということが大事だと分かりました。

 

これが極値を持つ条件なんです!

 

 

極値を持つ条件

具体的に例題でチェックしましょう。

 

例題

関数\displaystyle{f(x)=\frac{1}{3}x^3-2x^2+2ax}

極大値と極小値を持つような

定数aの値の範囲を求めよ。

 

STEP1

微分する

 

f^{\prime}(x)=x^2-4x+2a

となるので、f^{\prime}(x)=0

二次方程式になる。

 

STEP2

条件を使う

 

先ほどの話から、

3次関数f(x)極値を持つ

f^{\prime}(x)=0が2つの実数解を持つ

でした。

 

よってf^{\prime}(x)=0の判別式をDとすると

D\gt0を満たせばいいですね。

 

ここで、

\displaystyle{\frac{D}{4}=(-2)^2-1\cdot2a}

=4-2a

なので、4-2a\gt0より

a\lt2

 

これが問題の答えです!

 

 

最後に

いかがでしたか。

 

他の記事でもずっと言ってるように

問題集の解説は発想の順番ではない

ので、発想を覚えていきましょう。

 

ここまで読んだあなたも

ぜひとも問題集で

微分の問題を解いていってください。

 

 

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