あなたも苦手では？グラフが動く二次関数の最小値の考え方！

苦手な人必見！

場合分けを最小値になっても

自力で考えることができる！

あなたは次の事で悩んでませんか？

CHECK!

①場合分けの考え方が分からない

②最大値と最小値の考え方がごちゃ混ぜになる

この記事は以前の記事の続きで

最小値の考え方をお伝えします。

ですが、

最大値はこのやり方

最小値はこのやり方

と覚えると危険です。

なぜ危険か分からない人は

是非この記事を読み進めていき

正しい求め方を身に付けてください！

グラフが動く問題の最小値
グラフの向きで考えが変わる
最後に

グラフが動く問題の最小値

f:id:tosh1z0:20220326113032p:plain

それでは具体的に例題で

見ていきましょう。

例題

$a$ を定数とする。 $0\leqq x\leqq2$ における

関数 $f(x)=x^2-2ax-a$ の最小値を求めよ。

前回と同様に

具体的な手順を

見ていきましょう。

STEP1　グラフを確認

今回の関数は $x^2$ の係数が正なので

グラフは下に凸ですね。

上に凸の時と下に凸の時では

考え方がまた変わるので

ここで意識しておきます。

STEP2　平方完成

二次関数の最大と最小を考えるときは

必ず平方完成をしてましたね？

$f(x)=x^2-2ax-a$

$=(x-a)^2-a^2-a$

となるので、軸は直線 $x=a$

軸が動くということが

分かりました！

STEP3　グラフを動かす

今回は最小値なので

見るところが変わります。

f:id:tosh1z0:20220326113305p:plain

徐々に左から動かすと

しばらくは $x=0$ で

最小値になってます。

更に動かしていくと

ある所で最小値が

ずっとグラフの頂点

というところがあります。

以下の画像です。

f:id:tosh1z0:20220326113345p:plain

さらに左に動かすと

また最小値が変わりますね。

下の画像です。

f:id:tosh1z0:20220326113419p:plain

ここから左に動かしていっても

最小値はずっと $x=2$ でとります。

以上から以下のように

場合分けを考えます。

①軸(または頂点)が範囲の左外ならば、

　 $x=0$ で最小値

②軸(または頂点)が範囲内ならば、

　頂点で最小値

➂軸(または頂点)が範囲の右外ならば、

　 $x=2$ で最小値

自分の言葉で言語化してみましょう！

STEP4　数式で考える

この関数の軸は直線 $x=a$

でしたので、

①の場合➡ $a\lt0$ のとき

②の場合➡ $0\leqq a\leqq2$$ のとき

➂の場合➡ $2\lt a$ のとき

となります。

STEP5　解答例

以上のSTEPを踏まえて

解答は次のようになります。

CHECK!

$f(x)=x^2-2ax-a$

$=(x-a)^2-a^2-a$

となるので、

$y=f(x)$ の軸は直線 $x=a$

① $a\lt0$ のとき

$x=0$ で最小値 $f(0)=-a$ をとる

② $0\leqq a\leqq2$ のとき

$x=a$ で最小値 $-a^2-a$ をとる

(頂点の座標)

➂ $2\lt a$ のとき

$x=2$ で最小値 $f(2)=4-5a$ をとる

以上①～➂より、

$\begin{cases} a\lt0　のとき最小値-a\\ 0\leqq a\leqq2　のとき最小値-a^2-a\\ 2\lt aのとき最小値4-5a \end{cases}$

解答はしっかり自分の手で書いてみましょう

グラフの向きで考えが変わる

以上2記事にわたって

グラフが動くときの場合分けの考え

をお伝えしました。

ここで間違ってほしくないのが

グラフの向きで考え方が真逆になる

ということです。

下の画像を見てください。

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グラフが上に凸のときに

左から順に動かしていき

最小値の変化を見ていってます。

この時の判断は、

軸が範囲の真ん中よりどっちにあるか

となるんです！

最後に

いかがでしたか。

手順通りに考えることが

重要ですので、

決して最大値だからこうやる

とは覚えないでください！

ここまで読んだあなたは

ぜひとも問題集で練習して

場合分けをマスターしてください！

公式ライン限定！

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