としの高校数学攻略

数学が全くできない高校生でも、数学偏差値６０を超えるための勉強法を塾講師7年目の経験を踏まえて伝授します

あなたも苦手では？グラフが動く二次関数の最小値の考え方！

単元解説

苦手な人必見！

場合分けを最小値になっても

自力で考えることができる！

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

あなたは次の事で悩んでませんか？

CHECK!

①場合分けの考え方が分からない

②最大値と最小値の考え方がごちゃ混ぜになる

 

この記事は以前の記事の続きで

最小値の考え方をお伝えします。

 

ですが、

最大値はこのやり方

最小値はこのやり方

と覚えると危険です。

 

なぜ危険か分からない人は

是非この記事を読み進めていき

正しい求め方を身に付けてください！

 

 

 

グラフが動く問題の最小値

f:id:tosh1z0:20220326113032p:plain

 

それでは具体的に例題で

見ていきましょう。

 

例題

aを定数とする。0\leqq x\leqq2における

関数f(x)=x^2-2ax-aの最小値を求めよ。

 

 

前回と同様に

具体的な手順を

見ていきましょう。

 

STEP1　グラフを確認

今回の関数はx^2の係数が正なので

グラフは下に凸ですね。

 

上に凸の時と下に凸の時では

考え方がまた変わるので

ここで意識しておきます。

 

STEP2　平方完成

二次関数の最大と最小を考えるときは

必ず平方完成をしてましたね？

 

f(x)=x^2-2ax-a

=(x-a)^2-a^2-a

となるので、軸は直線x=a

 

軸が動くということが

分かりました！

 

STEP3　グラフを動かす

今回は最小値なので

見るところが変わります。

 

f:id:tosh1z0:20220326113305p:plain

 

徐々に左から動かすと

しばらくはx=0で

最小値になってます。

 

更に動かしていくと

ある所で最小値が

ずっとグラフの頂点

というところがあります。

 

以下の画像です。

f:id:tosh1z0:20220326113345p:plain

 

さらに左に動かすと

また最小値が変わりますね。

 

下の画像です。

f:id:tosh1z0:20220326113419p:plain

 

ここから左に動かしていっても

最小値はずっとx=2でとります。

 

以上から以下のように

場合分けを考えます。

①軸(または頂点)が範囲の左外ならば、

　x=0で最小値

②軸(または頂点)が範囲内ならば、

　頂点で最小値

➂軸(または頂点)が範囲の右外ならば、

　x=2で最小値

 

自分の言葉で言語化してみましょう！

 

STEP4　数式で考える

この関数の軸は直線x=a

でしたので、

 

①の場合➡a\lt0 のとき

②の場合➡0\leqq a\leqq2$ のとき

➂の場合➡2\lt a のとき

 

となります。

 

STEP5　解答例

以上のSTEPを踏まえて

解答は次のようになります。

 

CHECK!

f(x)=x^2-2ax-a

=(x-a)^2-a^2-a

となるので、

y=f(x)の軸は直線x=a

 

①a\lt0 のとき

x=0 で最小値f(0)=-aをとる

 

②0\leqq a\leqq2 のとき

x=a で最小値-a^2-aをとる

(頂点の座標)

 

➂2\lt a のとき

x=2 で最小値f(2)=4-5aをとる

 

以上①～➂より、

\begin{cases} a\lt0　のとき最小値-a\\ 0\leqq a\leqq2　のとき最小値-a^2-a\\ 2\lt aのとき最小値4-5a \end{cases}

 

 

解答はしっかり自分の手で書いてみましょう

 

グラフの向きで考えが変わる

以上2記事にわたって

グラフが動くときの場合分けの考え

をお伝えしました。

 

ここで間違ってほしくないのが

グラフの向きで考え方が真逆になる

ということです。

 

下の画像を見てください。

f:id:tosh1z0:20220326114044p:plain

 

グラフが上に凸のときに

左から順に動かしていき

最小値の変化を見ていってます。

 

この時の判断は、

軸が範囲の真ん中よりどっちにあるか

となるんです！

 

最後に

いかがでしたか。

 

手順通りに考えることが

重要ですので、

決して最大値だからこうやる

とは覚えないでください！

 

ここまで読んだあなたは

ぜひとも問題集で練習して

場合分けをマスターしてください！

 

 

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塾に行くか迷ってるあなたへ！塾に対する考え方と効果的な利用方法！

勉強法

これを読むことで

塾に行くか迷ってる人は

正しい考えのもとで

決断できる！

 

 

 

 

 

 

 

 

 

あなたは次の事に

当てはまってませんか？

CHECK!

①受験勉強面倒だから塾に通って近道しよう

②勉強の仕方がわからないから塾に行きたい

 

僕も受験時代に

塾に行くかどうかで迷ってました。

 

そこであることを思っておかないと

塾に行っても意味ないことに

気づきました。

 

そこでこれを読んでるあなたが

もし塾に行くかどうか迷ってるのなら

ぜひともこの記事を読み進めて

正しい知識で判断してください！

 

 

 

塾に対しての偏見

まずは塾に対しての

間違った思い込みを

お伝えしていきます。

 

塾に入ったから安心

f:id:tosh1z0:20220326111236p:plain

 

塾に入った人が陥りやすい思考として

入塾＝安心

と思ってしまう事です。

 

決してそんなことはなくて

自分の勉強に対するやる気が

一番重要です。

 

そのためには

自分がその塾で何ができるようになりたいか

これを決めておかないと

塾に行っても意味がないでしょう。

 

学校と同じように

過ごしてはいけません。

 

あくまでも塾を「利用する」というスタンスで行きましょう

 

授業聞くだけで成績上がる

f:id:tosh1z0:20220326111401p:plain

 

もちろん分かりやすい授業を聞くと

その単元の理解度も上がって

テストの点数に繋がってきます。

 

それだけではなくて

やはり家庭学習も

自分でしていかないといけません。

 

学校の先生や塾の先生は

あくまでもあなたの勉強の

手助けにすぎないのです。

 

家庭学習で授業内容の

練習をしていかないと

いつまでたっても成績は伸びないでしょう。

 

主体的に行動しましょう！

 

塾を効果的に利用するには

ではどういうふうに塾を

「利用する」と

効果的なのかお伝えしていきます。

 

自分の不明点をはっきりと質問する

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塾の先生に問題を尋ねるときに

ただ単に「分からない」という質問は

やめましょう。

 

どこのどういった点が分からないのか

が具体的に定まった時に

初めて質問するのです。

 

例えば、

問題集の解答を読んでも

○○＝○○

が成り立つ理由が分からない

など。

 

漠然と分からないと言われるとその問題について全く考えていないと宣言しているようなものです

 

問題を見て「分からない」と思ったら、

なんで分からないのかを

自問自答してください。

 

そうすると、

  • 解法の発想が分からない
  • 知識外のことだから

など具体的なことが

分かってきます。

 

担当先生以外にも話を聞く

f:id:tosh1z0:20220326111720p:plain

 

せっかくの塾なので、

色んな先生の話を聞きましょう。

 

  • 他の先生はどう勉強してきたのか
  • 自分の進路に詳しい先生がいた
  • もっとシンプルな問題の解き方を知れた

 

など担当の先生に聞くだけでは

知り得なかった情報を得ることができます。

 

とことん利用しつくしましょう！

 

最後に

いかがでしたか。

 

この記事では以下の事を

お伝えしてきました。

CHECK!

①結局は自分の行動次第

②塾は「利用する」というスタンスで

③先生も「利用する」というスタンスで

 

この記事を読んで

今一度塾について

真剣に考えてみて下さい。

 

その上で自分で決断したことは

その後の過ごし方をしっかりと

主体的に行動してくださいね！

 

 

 

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問題集を絶対に終わらせる勉強計画の立て方を伝授！

勉強法

計画の立て方を知ると

勉強が捗って

時間をうまく使える！！

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

あなたは次の事で悩んでませんか？

CHECK!

①勉強してこなかったから闇雲に問題を解いている

②無理のない計画の立て方を知りたい

③決めた問題集をやり切りたい

 

僕も高校時代

定期テストの勉強は

闇雲に問題を解いていました。

 

だからその日の勉強量が

モチベーションによって左右されてたんです。

 

その後、受験生になると

今までの勉強の方法では

ダメだと分かってきました。

 

それで僕が受験時代から

実行している

問題集を絶対に終わらせる計画法

をお伝えしていきます。

 

もし今勉強がなかなか捗らない人は

この記事を読み進めて

計画の立て方を知っていきましょう！

 

 

 

 

計画を立てないと…

計画を立てずに思いついたことを

がむしゃらにやっていくと

受験に間に合いません。

 

そればかりか

  • あの問題集もやらないと
  • 本当にこれであってるのかな

と思うようになり、

最終的には

  • 結構時間かけたのに全然終わらない

みたいなことが起こります。

 

 

ですのでそうならないためにも

ぜひとも勉強計画は

立てていきましょう！

 

計画を立てる具体的な手順

それでは具体的な手順を

お伝えしていきます。

 

STEP1

f:id:tosh1z0:20220325225745p:plain

 

終わらせたい問題集の

解くべき問題を選び

問題数を数える

 

まずはどれくらい解いたらいいのか、

具体的な数を出しましょう。

 

 

STEP2

f:id:tosh1z0:20220325225838p:plain

 

いつまでに終わらせたいのかを決めて

現在から何週あるかを数える

 

例えば、三か月後には終わらせたいとき

単純計算で、12週ということです。

 

STEP3

f:id:tosh1z0:20220325225922p:plain

 

問題数÷週の数

をする

 

これが

一週間でやるべき問題数

になります。

 

STEP4

一日ごとにやるべき問題を

週初めに決める

 

ここで大事なのが

必ず予備日を作ってください。

 

なので6日かけて

一週間でやるべき問題数を

こなすつもりで計画するのです。

 

以上が問題集を終わらせる計画の立て方です！

 

最後に

いかがでしたか。

 

ここまで読んだあなたも

ぜひとも今日すぐに

勉強計画を立ててみて下さい！

 

 

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ベクトル苦手な人必見！ベクトルの問題の超基本的な2つの考え方！

単元解説

ベクトル苦手な人でも

このアプローチをすることで

基本問題を確実に取れます！

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

あなたは次の事で悩んでませんか？

CHECK!

①ベクトル問題でどうしたらいいか分からない

②サボってないのに全然定着しない

③ベクトルの範囲が広すぎて何から勉強したらいいのか分からない

 

 

ベクトルって範囲が広いですよね。

 

僕も受験時代に

ベクトルに対する考え方が

定まっていなかったです。

 

ですので、

ちょっと応用問題が出てくると

思考が停止してしまってました。

 

そこでベクトルを勉強するうちに

結局はこの考え方から始まる

というのを理解したのです。

 

そこからどんな問題の解法パターンも

すぐに、こうしたら良いのか

と頭に入るようになりました。

 

 

もしベクトル苦手を解消したい人は

この記事を読み進めていって下さい！

 

 

 

線分をベクトルで表してみる

f:id:tosh1z0:20220325224406p:plain

 

ベクトル問題へのアプローチとして

まずは自分が決めた線分を

ベクトルで表してみます。

 

そのためには上の画像の

基本事項は必ず分かっておきましょう。

 

他にも以下の2つの表し方を

お伝えしていきます！

 

平行な線分

f:id:tosh1z0:20220325224431p:plain



 

これはもう九九と同じように

AB // CD \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{CD}

となるとすぐに言えるようにしてください。

 

もし AB と CD が同じ長さなら

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}

ですね。

 

平行四辺形の問題でよく使います。

 

内分点の位置ベクトル

f:id:tosh1z0:20220325224614p:plain

 

これも良く問題で使います。

 

または、

\triangle{OAB} の辺ABをs:tに内分する点をC

ならば

\overrightarrow{OC}=t\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{OB}(s+t=1)

と表すこともできます。

 

この s+t=1 というのを利用して、

\overrightarrow{OC}=t\overrightarrow{OA}+(1-t)\overrightarrow{OB}

と表す場合もあります。

 

どの場合でも表せられるようになりましょう！

 

内積を使うことを考える

f:id:tosh1z0:20220325224805p:plain

 

内積は様々な問題で使われます。

例えば

  • 成分からなす角\thetaを求める
  • ベクトルの大きさの最大値を求める
  • ベクトル方程式を求める

 

これらの問題を解くためには、

内積の求め方はもちろんのこと

次の2つの基本事項は

確実に押さえておきましょう。

 

垂直条件

f:id:tosh1z0:20220325224833p:plain

 

これは平行の時と同じで、

九九のような感覚で言えるように

覚えておく方が良いです。

 

この垂直＝内積０を利用して

  • ベクトルの式を変形したり
  • 法線ベクトルを求めたり

用途は多岐にわたります。

 

なす角(またはcos)を求める

これも手がスラスラ動くようになるくらい

出来ておく方が良いでしょう。

 

直接なす角を求める問題以外にも、

  • 三角形の面積を求める

この問題で大活躍します。

 

成分があれば\cos\theta が求まるので、\sin\theta も求まります！

 

最後に

本記事ではベクトル問題に対する

考え方を大きく2つに分けて

お伝えしました。

 

どの問題もこの考え方から

つながってくるので、

覚えておいてください。

 

また、ベクトルの問題では

○○を求めるには○○をすればいい

というパターン化も大事です。

 

ぜひともこの記事と合わせて

あなたの問題集で練習しましょう！

 

 

 

 

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勉強しても成績が伸びない人へ！勉強の定着率が格段に上がる方法！

勉強法

この方法を実行することで

あなたの勉強で得た知識の

定着率が格段に上がります！

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

あなたはこのように悩んでませんか？

CHECK!

①同じところ何回もやっても覚えられない

②勉強しても1か月前にやったことを忘れている

③実力テストはあきらめている

 

私も高校時代

実力テストは復習する範囲が

広すぎて諦めてました。

 

ですが受験勉強になると

そうはいきません。

 

定着率をあげるためには

この方法が一番良いので

これを読んでるあなたにお伝えします。

 

 

 

定着率を上げる方法

f:id:tosh1z0:20220325223131p:plain

 

上の画像を見てください。

 

これはラーニングピラミッドと言って

アメリカで開発された

人間の学習率を表したモデルです。

 

隣にある%は、

定着率を表しております。

 

モデルにあるように

勉強の定着率を上げるには

人に説明する

ということをすれば良いのです。

 

ただ人に説明するとなると

ひとりではできないと思いますが

 

ひとりでもできる方法を

考えてみました！

 

 

実践の仕方

f:id:tosh1z0:20220325223345p:plain

 

具体的な方法をお伝えしますと、

授業動画を撮る

ということです。

 

こう言うとすごく難しいことだと

感じるかもしれませんが、

動画編集とか全く必要ありません。

 

自分が得た知識を

紙とペンで説明する様子を映して

授業するだけです。

 

自分の姿を取るのが嫌な人は

紙とペンだけを撮るのも良いでしょう。

 

大事なのが、

その内容をもともと知ってます感

をだしながら授業することです。

 

そうすれば知ってて当然だと脳が思ってくれるんです！

 

この方法を実践する効果

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この方法を実践すると

嬉しい効果があります。

 

  • インプットの質が上がる
  • アウトプットが十分できる

 

知識の定着のためには、

インプットとアウトプットが

両方あるのが大切です。

 

アウトプットは

授業するという形で

しっかりできます。

 

インプットの質が上がるのは、

この範囲を授業するためには？

と考えながら勉強できるからです。

 

塾講師で経験していますが、授業する前提で勉強すると効率が格段に上がります！

 

最後に

いかがでしたか。

 

この記事でお伝えしたことは、

以下のようになります。

まとめ

人に教えるのが一番勉強効率が良い

具体的に授業動画を撮るのが良い

説明前提でインプットできるので質が上がる

 

なかなか勉強の定着率が悪い人は

一度授業動画を撮ってみて下さい！

 

 

 

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ユークリッド互除法で最大公約数求められますか？苦手な人はチェック！

単元解説

整数問題苦手な人でも

ユークリッド互除法で

最大公約数が求められる！

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

あなたは以下の事に当てはまってますか？

CHECK!

①ユークリッド互除法の使い方が分からない

②最大公約数の求め方を忘れてる

③そもそも整数問題全般が苦手

 

 

僕も受験時代、

ユークリッド互除法で

最大公約数を求める方法は

高１以来ずっと忘れていました。

 

このユークリッド互除法は

整数問題で最も使われる方法の

１つになってます。

 

これを見ているあなたは

ぜひともこの記事を読み進めて

使えるようになってください！

 

 

 

ユークリッド互除法の定理

f:id:tosh1z0:20220325220630p:plain

定理は以上の画像になるのですが

具体的にどうなるか見ていきましょう。

 

例えば248と93について

248=93\cdot2+62

93=62\cdot1+31

となります。

 

このとき

248と93の最大公約数

93と62の最大公約数

これは一致するってことです。

 

 

まずは色んな数字で試してみましょう！

 

最大公約数の求め方

f:id:tosh1z0:20220325220830p:plain



 

それでは具体的な例題で

最大公約数を求めてみます。

 

例題

248と1829の最大公約数を求めよ。

 

 

最大公約数は素因数分解でも

求めることができますが、

大きい数の素因数分解はしんどいですね。

 

そんなときに

ユークリッド互除法が使えます。

 

解説

1829=248\cdot7+93

248=93\cdot2+62

93=62\cdot1+31

62=31\cdot2

となるので、

1829と93の最大公約数は243と93の最大公約数

243と93の最大公約数は93と62の最大公約数

93と62の最大公約数は62と31の最大公約数

よって求める数は、31

 

 

2つの整数をできる限り小さくしているんですね！

 

互除法を使った問題

f:id:tosh1z0:20220325221330p:plain



 

さらに最大公約数の求め方を利用して

次の問題も解けるようになります。

 

例題

2n+17と3n+18の最大公約数が5

となるような最小の自然数を求めよ。

 

 

例え文字が出てきても

同じように互除法が使えます。

 

解答を見てみましょう。

解説

3n+18=(2n+17)\cdot1+(n+1)

2n+17=(n+1)\cdot2+15

となるので、

3n+18と2n+17の最大公約数は

n+1と15の最大公約数と等しい.

よってn+1と15の最大公約数が5となるには

n+1=5

となるときが最小の自然数nになるので、

n=4

 

このように最大公約数の求め方を利用して抽象的な問題も解けるようになります！

 

最後に

いかがでしたか。

 

この記事でお伝えした

ユークリッド互除法の使い方は

とても大切な内容になります。

 

ですが数A以外で全く使わないので

意外と忘れがちなのです。

 

ここまで読んだあなたは

ぜひとも問題集で練習して下さい！

 

 

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微分苦手な人必見part2!接線の方程式の求め方を５分でチェック！

単元解説

求め方のパターンを

知っておくだけで

接線の方程式は完璧！

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

あなたはこのように悩んでませんか？

CHECK!

①接線の方程式の求め方が分からない

②問題集の解説を読んでも理解できない

③微分は計算しかできない

 

今回はそんな人へ

接線の方程式の求め方

をお伝えしていきます。

 

是非この記事を読み進めて

理解していきましょう！

 

 

 

基本の求め方

f:id:tosh1z0:20220323220931p:plain



 

接線の方程式の公式は

上の画像のようになります。

 

この式は、微分より前に習う

※の内容から考えることができます。

 

初めて微分を習ったとき

微分の定義からf^{\prime}(a)は

点(a,f(a))における傾きでした。

 

ですので上の公式になるのです。

 

直線の方程式の傾きが微分になってるだけ！

 

例題

具体的な例題で確認しましょう。

例題

曲線$y=2x^3$上の点(2,16)における

接線の方程式を求めよ。

 

 

まず、y=f(x)としてf(x)=2x^3を微分すると、

f^{\prime}(x)=6x^2

となるので、x=2のとき

f^{\prime}(2)=6\cdot2^2=24

 

あとは公式を見ながら、

y-16=24(x-2)

とするだけです。

 

すると求める方程式は

y=24x+64

となります。

 

まずは公式を使えるようにしましょう！

 

2曲線の共通接線の求め方

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以上の求め方をベースに

共通接線の求め方を見ていきます。

例題（共通接線）

2つの放物線y=-x^2, y=x^2-2x+5

の共通接線を求めよ。

 

 

STEP1

f:id:tosh1z0:20220323221514p:plain

 

直線が接するということは、

交点が１つということです。

 

直線と放物線の交点を求めるときは、

yを消去して2次方程式を解いてました。

 

つまりこの2次方程式が重解をもつ

ということを用います。

 

接線⇔重解⇔判別式D＝０を利用していきます。

 

 

STEP2

f:id:tosh1z0:20220323221654p:plain

 

放物線y=-x^2上の点(a,-a^2)における

接線の方程式を求めます。

 

y^{\prime}=-2xなので

先ほどの方法から接線の方程式は

y-(-a^2)=-2a(x-a)

より

y=-2ax+a^2…①

となります。

 

STEP3

2次方程式を作る

 

今求めた直線とy=x^2-2x+5は接するので

yを消去したあとの2次方程式

x^2-2x+5=-2ax+a^2

すなわち

x^2+2(a-1)x-a^2+5=0

は、重解を持ちます。

 

STEP4

判別式を使う

 

上の方程式の判別式をDとすると

\displaystyle{\frac{D}{4}=\{(a-1)\}^2-1\cdot(-a^2+5)}

=2a^2-2a-4

=2(a^2-a-2)

=2(a+1)(a-2)

 

重解⇔D=0なので、a=-1, 2

この値を①に代入すると

y=2x+1, y=-4x+4

 

これが求める接線の方程式です！

 

最後に

いかがでしたか。

 

接線の方程式の基本的な求め方は

絶対にできるようにしておきましょう。

 

ここまで読んだあなたも

ぜひとも問題集等で

早速練習していきましょう。

 

公式ライン限定！

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