としの高校数学攻略

数学が全くできない高校生でも、数学偏差値６０を超えるための勉強法を塾講師7年目の経験を踏まえて伝授します

微分苦手な人必見part2!接線の方程式の求め方を５分でチェック！

単元解説

求め方のパターンを

知っておくだけで

接線の方程式は完璧！

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

あなたはこのように悩んでませんか？

CHECK!

①接線の方程式の求め方が分からない

②問題集の解説を読んでも理解できない

③微分は計算しかできない

 

今回はそんな人へ

接線の方程式の求め方

をお伝えしていきます。

 

是非この記事を読み進めて

理解していきましょう！

 

 

 

基本の求め方

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接線の方程式の公式は

上の画像のようになります。

 

この式は、微分より前に習う

※の内容から考えることができます。

 

初めて微分を習ったとき

微分の定義からf^{\prime}(a)は

点(a,f(a))における傾きでした。

 

ですので上の公式になるのです。

 

直線の方程式の傾きが微分になってるだけ！

 

例題

具体的な例題で確認しましょう。

例題

曲線$y=2x^3$上の点(2,16)における

接線の方程式を求めよ。

 

 

まず、y=f(x)としてf(x)=2x^3を微分すると、

f^{\prime}(x)=6x^2

となるので、x=2のとき

f^{\prime}(2)=6\cdot2^2=24

 

あとは公式を見ながら、

y-16=24(x-2)

とするだけです。

 

すると求める方程式は

y=24x+64

となります。

 

まずは公式を使えるようにしましょう！

 

2曲線の共通接線の求め方

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以上の求め方をベースに

共通接線の求め方を見ていきます。

例題（共通接線）

2つの放物線y=-x^2, y=x^2-2x+5

の共通接線を求めよ。

 

 

STEP1

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直線が接するということは、

交点が１つということです。

 

直線と放物線の交点を求めるときは、

yを消去して2次方程式を解いてました。

 

つまりこの2次方程式が重解をもつ

ということを用います。

 

接線⇔重解⇔判別式D＝０を利用していきます。

 

 

STEP2

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放物線y=-x^2上の点(a,-a^2)における

接線の方程式を求めます。

 

y^{\prime}=-2xなので

先ほどの方法から接線の方程式は

y-(-a^2)=-2a(x-a)

より

y=-2ax+a^2…①

となります。

 

STEP3

2次方程式を作る

 

今求めた直線とy=x^2-2x+5は接するので

yを消去したあとの2次方程式

x^2-2x+5=-2ax+a^2

すなわち

x^2+2(a-1)x-a^2+5=0

は、重解を持ちます。

 

STEP4

判別式を使う

 

上の方程式の判別式をDとすると

\displaystyle{\frac{D}{4}=\{(a-1)\}^2-1\cdot(-a^2+5)}

=2a^2-2a-4

=2(a^2-a-2)

=2(a+1)(a-2)

 

重解⇔D=0なので、a=-1, 2

この値を①に代入すると

y=2x+1, y=-4x+4

 

これが求める接線の方程式です！

 

最後に

いかがでしたか。

 

接線の方程式の基本的な求め方は

絶対にできるようにしておきましょう。

 

ここまで読んだあなたも

ぜひとも問題集等で

早速練習していきましょう。

 

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