としの高校数学攻略

数学が全くできない高校生でも、数学偏差値６０を超えるための勉強法を塾講師7年目の経験を踏まえて伝授します

三角比の基本事項を5分で復習！本質が分かってないと応用問題に取り組めません

単元解説

この記事を読めば

三角比の”本質”を知り

 

応用問題で活きる知識を!

 

 

 

 

 

 

 

 

あなたはこのように悩んでいませんか？

CHECK!

①復習したいけど教科書開くのが面倒

②単位円を何に使うのかが分からない

③三角比の表を覚えられない

 

 

僕もこれらについて曖昧なまま

高校生活を過ごしていました。

 

でもしっかりと本質を知ると

受験のときに三角比で苦労することは

無くなったんです。

 

あなたもこの記事を読み進めていき

三角比の本質を理解しましょう。

 

最後に、絶対に忘れない

三角比の表もお見せします！

 

 

 

三角比の決まり方おさらい

まずはおさらいしましょう。

下の図を見てください。

f:id:tosh1z0:20220313163814p:plain



この三角形の図で

sin\displaystyle{\theta=\frac{y}{r}}

cos\displaystyle{\theta=\frac{x}{r}}

tan\displaystyle{\theta=\frac{y}{x}}

でした。

 

ここが曖昧な人は上図のように

「ｓ」「ｃ」「ｔ（筆記体）」

を三角形に書いてみます。

 

このときアルファベットの書き順通り

分母→分子

となると考えてください。

 

単位円の使い方を知ろう！

ここからは三角比を考えるときに便利な

単位円（半径１の円）について、

お伝えしていきます。

 

まずは下図を見てください。

f:id:tosh1z0:20220313165601p:plain



 

上図のように単位円上の点を1つとって、

直角三角形を作ります。

 

このときの直角三角形は

次のようになります。

f:id:tosh1z0:20220313165624p:plain



 

先ほどの三角比の決め方から、

sin\displaystyle{\theta=\frac{y}{1}=y}

cos\displaystyle{\theta=\frac{x}{1}=x}

となりますね。

 

つまり単位円上の点を１つとると、

x 座標は cos\theta

y 座標は sin\theta

になるのです。

 

さらにこのことから、

tan\displaystyle{\theta=\frac{y}{x}}

なので、tan\theta は、

単位円上の点と原点を結ぶ直線の傾き

を表しているのです。

 

まとめますと、次のようになります。

CHECK!

①cos\theta は x座標

②sin\theta は y座標

③tan\theta は 傾き

 

単位円は数IIの三角関数でめちゃくちゃ使います！

 

 

相互関係を理解しよう！

先ほどの話から、

\displaystyle{\tan\theta=\frac{y}{x}=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}

となるので、教科書で登場した

\displaystyle{\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}

という公式が成り立ちます。

 

さらには下図

f:id:tosh1z0:20220313165624p:plain



 

この直角三角形の三平方の定理より、

y^2+x^2=1

ですので、

{\sin}^2 \theta+{\cos}^2 \theta=1

という公式も成り立ちます。

 

最後に、これらを使って、

1+{\tan}^2 \theta

\displaystyle{=1+\frac{{\sin}^2\theta}{{\cos}^2\theta}}(\displaystyle{\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}を使った)

\displaystyle{=\frac{{\cos}^2 \theta+{\sin}^2\theta}{{\cos}^2 \theta}} (通分)

\displaystyle{=\frac{1}{\cos^2\theta} }  ({sin}^2 \theta+{\cos}^2 \theta=1を使った)

となるので一番難しい公式

\displaystyle{1+{\tan}^2 \theta=\frac{1}{\cos^2\theta} }

が導けます。

 

自分で導けるようになっておきましょう！

 

三角比の表

最後に三角比の表について、

一度見ると一生忘れない表を

お見せします！

f:id:tosh1z0:20220313230441p:plain



 

\sin に注目すると、

ルートの中身が０,１,２,３,４

 

対して \cos は、

ルートの中身が４,３,２,１,０

 

となっております。

 

 

最後に

いかがでしたか。

 

近年公式などの本質を問う問題が

増えてきましたので

理解しておきましょう！

 

以上の基本事項を確認して、

ぜひ問題集の問題を解いてみましょう。

 

 

 

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