としの高校数学攻略

数学が全くできない高校生でも、数学偏差値６０を超えるための勉強法を塾講師7年目の経験を踏まえて伝授します

苦手な人はこの記事で克服しませんか？三角不等式を解く5つのステップ

単元解説

正しい手順を

理解すると

 

苦手な人でも

解けるようになる！

 

 

 

 

 

 

 

 

あなたは次の事で悩んでませんか？

CHECK!

①角度が\displaystyle{2\theta+\frac{3}{4}\pi}となった

   とたんに解けなくなる…

②問題集の解説を読んでも

　全然理解できない…

③もう一度初めから手順を知りたい！

 

僕も数Ⅱでこの単元を習ったとき

解けるようになるまで

ものすごく時間が掛かりました。

 

できるようになるまでは

単位円の使い方が

全然分かってなかったんです。

 

もしあなたも三角不等式が苦手なら

ぜひともこの記事を読み進めて

正しい手順で解けるようになりましょう！

 

 

 

超基本事項確認！

f:id:tosh1z0:20220314232024p:plain

 

単位円上の点を１つとると、

その座標は(\cos\theta, \sin\theta)

となる。

 

もしこれが不安だと思ったら

ぜひコチラの記事で確認してください！

 

これ以降の話は

数Ⅰの三角比の基本がわかっている人

に向けてお伝えしていきます。

 

※角度は弧度法で表していきます。

 

 

数Iと数IIって繋がりが深いので、数I曖昧な人は先にそっちからですよ！

 

不等式を解いていきます！

それでは具体的に

以下の例題で説明していきます。

CHECK!

0\leqq\theta\lt2\piのとき、次の不等式を解け。

\displaystyle{\cos(2\theta-\frac{\pi}{3})\leqq-\frac{1}{2}}

 

できれば自分でも

考えてみてください！

 

STEP１

角度\displaystyle{2\theta-\frac{\pi}{3}}を t として考える

 

つまり、

\displaystyle{\cos t\leqq-\frac{1}{2}}

を考えます。

 

ここで単位円の出番です。

 

\cos が \displaystyle{-\frac{1}{2}} 以下ってことは

x 座標が\displaystyle{-\frac{1}{2}} 以下ってことです。

 

以下の図を見てください。

f:id:tosh1z0:20220314233356p:plain

 

単位円上でx座標が\displaystyle{-\frac{1}{2}}以下を満たす部分は

以上の赤色の部分になります。

 

STEP２

図で書いた該当部分を

角度で表す準備をする

 

以下の図を見てください。

f:id:tosh1z0:20220314233925p:plain

該当部分のはじまりは

角度が\displaystyle{\frac{2}{3}\pi}のとき

該当部分の終わりは

角度が\displaystyle{\frac{4}{3}\pi}のとき

になります。

 

ちなみに

\cos\thetaが\displaystyle{-\frac{1}{2}}になるときの\thetaの１つは135°ですね！

 

STEP３

tの範囲を確認する

 

例題の範囲は、0\leqq\theta\lt2\pi

なので各辺を2倍すると、

0\leqq2\theta\lt4\pi

ですね！

 

これは

単位円を二周する範囲です。

 

その後、\displaystyle{\frac{\pi}{3}}を各辺から引くと

\displaystyle{-\frac{\pi}{3}\leqq2\theta-\frac{\pi}{3}\lt\frac{11}{3}\pi}

 

f:id:tosh1z0:20220315000449p:plain



 

つまりこの問題では以上の図のように、

単位円上で\displaystyle{-\frac{\pi}{3}}から二周

という範囲で考えていけばいい

ということが分かりました！

 

STEP4

STEP1、2の該当部分を満たす

角度の範囲を考える

 

一周目で赤色の部分を満たすのは、

\displaystyle{\frac{2}{3}\pi\leqq t\leqq\frac{4}{3}\pi}

 

二周目で赤色の部分を満たすのは、

\displaystyle{\frac{8}{3}\pi\leqq t\leqq\frac{10}{3}\pi}

 

以上のように順に範囲を出していきます。

 

この後はtを\displaystyle 2\theta-\frac{\pi}{3}に戻して

\thetaの範囲を計算すると

答えが出ます！

 

STEP5

答案作成！

 

以上のSTEPを踏まえた

解答例は以下のようになります。

 

CHECK!

\displaystyle{2\theta-\frac{\pi}{3}=t}とおくと、

0\leqq\theta\lt2\piより、

\displaystyle{-\frac{\pi}{3}\leqq2\theta-\frac{\pi}{3}\lt\frac{11}{3}\pi}

となるので、

\displaystyle{-\frac{\pi}{3}\leqq t\lt\frac{11}{3}\pi}

 

この範囲で\displaystyle{\cos t\leqq-\frac{1}{2}}を解くと、

\displaystyle{\frac{2}{3}\pi\leqq t\leqq\frac{4}{3}\pi},

\displaystyle{\frac{8}{3}\pi\leqq t\leqq\frac{10}{3}\pi}

 

よって

\displaystyle{\frac{2}{3}\pi\leqq2\theta-\frac{\pi}{3}\leqq\frac{4}{3}\pi}, \displaystyle{\frac{8}{3}\pi\leqq2\theta-\frac{\pi}{3}\leqq\frac{10}{3}\pi}

 

各辺に\displaystyle{\frac{\pi}{3}}を足すことにより

\displaystyle{\pi\leqq2\theta\leqq\frac{5}{3}\pi}, \displaystyle{3\pi\leqq2\theta\leqq\frac{11}{3}\pi}

 

各辺を2で割ることにより

\displaystyle{\frac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\frac{5}{6}\pi}, \displaystyle{\frac{3}{2}\pi\leqq\theta\leqq\frac{11}{6}\pi}

 

これが求める不等式の解である。

 

 

 

ここまで理解できたら、問題だけ写して何も見ずに再現してみましょう！

 

最後に

いかがでしたか？

 

ぜひとも問題集を開いて

手を動かしてみることが

大事ですよ！

 

アウトプットが一番大切ですので！

 

それではまた別の記事で

お会いしましょう！

 

 

 

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