としの高校数学攻略

数学が全くできない高校生でも、数学偏差値６０を超えるための勉強法を塾講師7年目の経験を踏まえて伝授します

あなたも苦手では⁉︎場合分けのある二次関数の最大最小問題

単元解説

正しい場合分けを

自力で考えられる

ようになります！

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

次のようになってませんか？

CHECK!

①場合分けがどう決まるのか

　わからない…

②「最大の時はこう」と

　とりあえずで覚えている

 

僕も高校時代の初め、

この二次関数の最大最小に

悩まされていました。

 

暗記だけじゃ解けない

本質を分かっていないと

解けない問題

が出てきたんです。

 

なので

これを読んでいるあなたも

 

ぜひこの記事を読み進めて

自力で場合分けが

できるようにしましょう！

 

 

グラフが動く問題の最大値

それでは具体的な問題で

見ていきましょう。

 

問題

aを定数とする。0\leqq x\leqq2における

関数f(x)=x^2-2ax-aについて、次のものを求めよ。

(1)最大値　　　(2)最小値

 

 

今回は最大値だけ！次の記事で最小値を説明します！

 

グラフが動く最大値

f:id:tosh1z0:20220316230559p:plain

 

この問題を解くための

考え方の順番を

確認して行きましょう！

 

STEP1　グラフを確認

今回の関数はx^2の係数が正なので

グラフは下に凸ですね。

 

上に凸の時と下に凸の時では

考え方がまた変わるので

ここで意識しておきます。

 

STEP2　平方完成

二次関数の最大と最小を考えるときは

必ず平方完成をしてましたね？

 

f(x)=x^2-2ax-a

=(x-a)^2-a^2-a

となるので、軸は直線x=a

 

今回は

軸が動くということが

分かりました！

 

STEP3　グラフを動かす

グラフを左から動かして

最大値が変化するところを

見つけます。

 

f:id:tosh1z0:20220316230855p:plain



 

上図のようにグラフを左から動かすと

初めは、x=2 のときに

最大となっています。

 

続けてゆっくり右に動かしていくと

ある所の境目から

下図のように最大値が変わります。

 

f:id:tosh1z0:20220316230924p:plain



その境目はどこかを

ギリギリで探ると

以下の画像のようになりますね。

 

f:id:tosh1z0:20220316231000p:plain



 

ちょうど最大値が同じになる瞬間ですね！

 

これはどういう条件かを考えると

グラフの軸と範囲の真ん中が一致する

という状況の時ですね？

 

そうするとこのように

場合分けを考えることが

できます。

 

①軸が範囲の真ん中より左ならば、

　x=2のときに最大値となる

②軸が範囲の真ん中ならば、

　x=0,2のときに最大値となる

➂軸が範囲の真ん中より右ならば、

　x=0のときに最大値となる

 

STEP4　場合分けを数式に

例題の関数f(x)=x^2-2ax-aは

STEP2の平方完成から

軸が直線x=aとなってました。

 

範囲の真ん中はx=1ですので、

①の場合➡a\lt1 のとき

②の場合➡a=1 のとき

➂の場合➡1\lt a のとき

 

と言い換えられます。

 

場合分けの考え方は

以上になります！

 

STEP5　解答

以上のSTEPを踏まえて

解答例は次のようになります。

 

参考にしてみてください！

 

解答例

f(x)=x^2-2ax-a

=(x-a)^2-a^2-a

となるので、

y=f(x)の軸は直線x=a

 

①a\lt1 のとき

x=2 で最大値f(2)=4-5aをとる

 

②a=1 のとき

x=0,2 で最大値f(0)=-1をとる

(a=1だから)

 

➂1\lt a のとき

x=0 で最大値f(0)=-aをとる

 

以上①～➂より、

\begin{cases} a\lt1のときx=2で最大値4-5a\\ a=1のときx=0,2で最大値-1\\ 1\lt aのときx=0で最大値-a \end{cases}

 

 

問題集の解説は

これだけ書かれていて

いきなり場合分けが始まってます。

 

ぜひ以上の考え方の手順を

覚えていきましょう！

 

最後に

いかがでしたか。

 

おさらいすると、

以下のようになります。

CHECK!

①グラフがどう動くか考える

②左から動かしてどのときに最大値が変わるのかを考える/p>

③言葉で表した場合分けを数式で起こす

④それぞれの場合で最大値を計算

 

大事なのは、

問題集の解説は発想の順番ではない

ということです。

 

この記事を読むだけではなくて

ぜひとも問題集でも

問題を解いてみてください！

 

 

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