としの高校数学攻略

数学が全くできない高校生でも、数学偏差値６０を超えるための勉強法を塾講師7年目の経験を踏まえて伝授します

これだけ読めば漸化式の基本はOK！5つの型で判断しよう！

単元解説

漸化式が苦手な人でも

型を意識するだけで

漸化式が解けるようになる！

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

あなたはこのように悩んでませんか？

CHECK!

①なんでそんな変形をするのか

　分からない…

②種類が多すぎてどの解き方か

　判断できない

③そもそも根本から

　理解できていない

 

僕も受験時代

数列の勉強に入った時、

漸化式に苦戦していました。

 

解き方が曖昧だったので、

少し形が変わるだけで

解けなくなります。

 

そこでこの”型”を意識することで、

解き方がパターン化されて

漸化式が解けるようになりました。

 

漸化式が苦手だという人は

ぜひともこの記事を読み進めて

漸化式をマスターしましょう！

 

 

 

超基本の型（すべてこの形に）

f:id:tosh1z0:20220318145940p:plain

 

前提として漸化式を解くためには、

  • 等差数列の一般項の公式
  • 等比数列の一般項の公式
  • 階差数列を利用する数列の
    一般項の求め方

以上の事を知っておかないといけません。

 

教科書や問題集などで

すぐに確認することができるので

そちらと合わせて読み進めて下さい。

 

特に階差数列からの求め方は必須です！

 

等差数列の型

f:id:tosh1z0:20220320234518p:plain



 

例題で見ていきましょう。

例題

a_{1}=2,  a_{n+1}=a_{n}+5 をみたす数列\{a_{n}\}の一般項を求めよ。

 

具体的な数列はどうなっているか

n=1,2,3,... を代入して見ていきます。

 

n=1 のとき

a_{2}=a_{1}+5=2+5=7

 

n=2 のとき

a_{3}=a_{2}+5=7+5=12

 

n=3 のとき

a_{4}=a_{3}+5=12+5=17

 

となるので、この数列\{a_{n}\}は

2,  7,  12,  17,  ...

となります。

 

これは

初項2、公差5 の等差数列なので

a_{n}=2+(n-1)\times5=5n-3

となるのです。

 

大事なのは

以上の意味を説明できた上で

型をみたら等差数列と

すぐに分かるようにしてください。

 

九九のようにこの型は等差数列！とすぐに出てくるようにしましょう！

 

等比数列の型

f:id:tosh1z0:20220320233815p:plain

 

こちらも例題を見ていきましょう。

例題

a_{1}=2,  a_{n+1}=5a_{n}$ をみたす数列$\{a_{n}\}の一般項を求めよ。

 

先ほどと同じく、

n=1,2,3,... を代入して見ていきます。

 

n=1 のとき

a_{2}=5a_{1}=5\times2=10

 

n=2 のとき

a_{3}=5a_{2}=5\times10=50

 

n=3 のとき

a_{4}=5a_{3}=5\times50=250

 

となるので、この数列\{a_{n}\}は

2,  10,  50,  250,  ...

となります。

 

これは

初項2、公比5 の等比数列なので

a_{n}=2\cdot5^{n-1}

となるのです。

 

これも九九のように等比数列と判断してください！

 

階差数列の型

f:id:tosh1z0:20220320234918p:plain

 

例題を見て下さい。

例題

a_{1}=2,  a_{n+1}=a_{n}+n+1 をみたす数列\{a_{n}\}の一般項を求めよ。

 

こちらは代入していくのではなくて、

以下のように変形します。

a_{n+1}-a_{n}=n+1

 

この形は、階差数列の第n項は

n+1となっていると表しています。

 

ですので後は階差数列の解き方で

一般項を求めることができます。

 

どんな応用系でも以上の3つの形のうちいずれかに持っていけるんです！

 

係数がある型

f:id:tosh1z0:20220320235343p:plain

 

具体的に以下の例題が出されます。

例題

a_{1}=2,  a_{n+1}=2a_{n}-1 をみたす数列\{a_{n}\}の一般項を求めよ。

 

結論から言いますと、

この漸化式をb_{n+1}=pb_{n} と

等比数列の形に変形します。

 

 

そのためには、

特性方程式とよばれる

魔法の方程式を使います。

 

a_{n+1}=2a_{n}-1

を

x=2x-1

と数列部分を全部x と置き換えるだけです。

 

これを解くと、x=1 となり

これを使って、

a_{n+1}-1=2(a_{n}-1)

と変形するのです。

 

展開して整理してみると変形前に戻ります！

 

後は、b_{n}=a_{n}-1 とおくと

a_{n+1}-1=2(a_{n}-1)

↓

b_{n+1}=2b_{n}

これは等比数列の型ですね。

 

なので数列\{b_{n}\}の一般項が決まり、

b_{n}=a_{n}-1 と戻すと

数列\{a_{n}\} が決まります。

 

係数もnの式もある型

f:id:tosh1z0:20220320235857p:plain

 

では例題を見ていきましょう。

例題

a_{1}=2,  a_{n+1}=2a_{n}+3n をみたす数列\{a_{n}\}の一般項を求めよ。

 

画像の通り、最終的には

方程式の型に変形します。

 

順を追って説明しますね。

 

STEP1

nをn+1に変えます。

すると、

a_{n+1}=2a_{n}+3n  ...①

↓

a_{n+2}=2a_{n+1}+3(n+1)  ...②

 

STEP2

②ー①をすることで、

a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_{n})+1

となります。

 

b_{n}=a_{n+1}-a_{n}とおくと

b_{n+1}=2b_{n}+1

となるので

これは方程式の型ですね。

 

これ以降の解き方は先ほどお伝えした通りです！

 

 

最後に

いかがでしたか。

 

以上5つの型に分けましたが、

後半2つの解き方はどれも

超基本の型に直すということです。

 

この記事を読んだあなたは

ぜひとも早速問題集で

練習していってください！

 

 

 

公式ライン限定！

f:id:tosh1z0:20220307230434p:plain

『数学を実践レベルまで上げる勉強法』

を期間限定で無料配布中👇

公式ラインはここをタップ

 

数学で足を引っ張られてる人に向けて

今まで勉強してこなかった人でもできる

勉強法や計画の立て方をまとめました！

 

まずはボタンの記事を

ご覧ください(^^)