としの高校数学攻略

数学が全くできない高校生でも、数学偏差値６０を超えるための勉強法を塾講師7年目の経験を踏まえて伝授します

"絶対値"の扱い方大丈夫ですか？５分で本質を理解できます！

単元解説

解き方の基本を理解すれば

どんな絶対値方程式でも

考えられるようになります！

 

 

 

 

 

 

 

 

 

高校数学で数学Ⅰを習ったときに、

多くの人が壁になっているのが

この絶対値方程式です。

 

あなたもこのように困ってませんか？

CHECK!

①教科書の説明が分からないから、

　全部「±」で絶対値をはずしている

②場合分けは

　どう決まるのかが分からない

 

 

この記事ではそんな人のために、

自力で場合分けできるようになる考え方

をお伝えしていきます！

 

絶対値のはずし方は今後使うので、

ぜひともこの記事を読み進めて下さい！

本質を理解しましょう！

 

 

 

絶対値のはずし方

まずは基本の絶対値のはずし方を

おさらいしましょう！

 

中学で習った内容で

|-3|=3

|51|=51

と絶対値をはずしていました。

 

これを以下のように考えます。

  • 絶対値の中身が正の数⇒そのままはずす
  • 絶対値の中身が負の数⇒「－」をつけてはずす

 

ですので、|x|についても

xが正の数ならそのままはずし

xが負の数なら「－」をつけてはずす

ということです。

 

これを数学らしく言うと、

\begin{eqnarray} |x| =\begin{cases} x  \space( x \geqq 0 ) \\ -x  \space( x \lt 0 ) \end{cases} \end{eqnarray}

となります。

 

 

基本はこれで考えるようにしましょう！

 

絶対値方程式の解き方

それでは本題の絶対値方程式の解き方

をお伝えしていきます。

 

例題１

|x-1|=3

 

先ほどのように、

中身が正か負かで考えていきます。

 

これが場合分けです。

 

①x-1\geqq0（中身が正）のとき

つまり、x\geqq1 のときですね。

 

絶対値はそのまま外れるので、

x-1=3 より x=4

 

ここで注意してもらいたいのは、

自分が決めた場合を満たしているか

これのチェックをしないといけません。

 

自分が決めた場合とは、

x\geqq1 でしたので、

x=4 はこれを満たしています。

 

②x-1\lt0（中身が負）のとき

この場合も先ほどと同じように

考えていきます。

 

以上の事を踏まえて

記述例は次のようなります。

例題１解答

①x-1\geqq0 すなわち x\geqq1 のとき

x-1=3 より x=4

これは、x\geqq1 を満たす。

 

②x-1\lt0 すなわち x\lt1 のとき

-(x-1)=3 より x=-2

これは、x\lt1 を満たす。

 

①②より、求める解は x=-2,4

 

 

こういう記述をサッと書けるようになればOKです！

 

例題2

|x-1|+|x+3|=4

 

「±」をつけてはずす

としか分からない人は

この問題で困るかと思います。

 

なのでこれからお伝えする

場合分けの考え方は

絶対に覚えてください。

 

手順１

２つの絶対値はどういう時に外れますか？

 

|x-1| は、

  • x-1\leqq0 すなわち x\leqq1 のとき
    そのまま
  • x-1\lt0 すなわち x\lt1 のとき
    －つけて

|x+3|は、

  • x+3\leqq0 すなわち x\leqq-3 のとき
    そのまま
  • x+3\lt0 すなわち x\lt-3 のとき
    －つけて

というようになりますね。

 

手順２

この4つの範囲の中で、

一番小さい範囲はなんですか？

 

x\lt-3 ですね。

これを満たしていたら、

x\lt1も自動的に満たします。

 

つまり、x\lt-3 の場合1つで

2つの絶対値は－つきではずれる

ということが分かりました。

 

手順３

ここからどんどん範囲を

上にあげていくイメージです。

 

先ほどはx\lt-3 を確認したので、

次はx\leqq-3を考えます。

 

このとき|x-1|はどのようにはずれますか？

  • x\leqq1 のときそのまま
  • x\lt1 のとき－つけて

ですね。

 

つまり、今x\leqq-3を考えていますから、

範囲を合わせてあげると

  • -3\leqq x\lt1 のときそのまま
  • 1\leqq x のとき－つけて

となります。

 

以上が場合分けの考え方になります。

 

これを踏まえて記述例は次のようになります。

例題2の解答

①x\lt-3 のとき

-(x-1)-(x+3)=4

これを解いて、x=-3

これは x\lt-3 を満たさない。

 

②-3\leqq x\lt1 のとき

-(x-1)+(x+3)=4

これは解が定まらない。

 

➂1\leqq x のとき

(x-1)+(x+3)=4

これを解いて、x=1

これは 1\leqq x を満たす。

 

①②➂より、求める解は x=1

 

 

ここまで理解できたらOKです！

 

最後に

いかがでしたか。

 

この記事では、

絶対値方程式は場合分けを考える

ということを強く推奨しました。

 

早速学校の問題集などで、

練習してください！

 

 

 

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